\chapter{Tychonoffs Sætning}

I dette kapitel vil jeg vise Tychonoffs sætning. Den bygger fundamentalt ovenpå flere af de sætninger og vi har vist i kapitel 1 og karakteriseringen af kompakthed fra kapitel 2. Tychonoffs sætning og hjælpelemmaet står formuleret som opgaver i \cite{Christenson} for filtre og som sætninger i \cite{Pedersen} for net.

\begin{lem}\label{lem:tychonoff}
  Hvis $\{X_\alpha | \alpha \in \Lambda\}$ er en familie af topologiske rum, og $\prod_{\alpha \in \Lambda}X_\alpha$ produktetrummet udstyret med produkttopologien. Lad nu $x \in \prod_{\alpha \in \Lambda}X_\alpha$.
  \begin{enumerate}
  \item Da vil et filter $\sF$ konvergere mod $x$ i $\prod_{\alpha \in \Lambda}X_\alpha$ hvis og kun hvis filtret $p_\alpha(\sF)$ konvergerer mod $p_\alpha(x)$ for hvert $\alpha \in \Lambda$. 
  \item Da vil et net $N = (\Delta, i)$, $\morf{i}{\prod_{\alpha \in \Lambda} X_\alpha}{X_\alpha}$ være konvergent mod et $x \in X$ hvis og kun hvis $(\Delta, p_\alpha \circ i)$ er konvergent mod $p_\alpha(x)$ for hvert $\alpha \in \Lambda$.
  \end{enumerate}
 
\end{lem}

\begin{proof}
Bemærk først at hvis $\morf{p_\alpha}{\prod_{\beta \in \Lambda} X_\beta}{X_\alpha}$ er projektionsafbildingen bliver den kontinuert når $\prod_{\beta \in \Lambda} X_\beta$ er udstyret med produkttopologien. Det giver den ene vej i både \textit{i)} og \textit{ii)}.

 \textit{i):} Lad $V \in \OO(x)$ og antag at $p_\alpha(\sF)$ konvergerer mod $p_\alpha(x)$ for hvert $\alpha \in \lambda$. Da giver produkttopologien at der findes en endelig mængde $\{a_1, \dots, a_j\} \subseteq \Lambda \, , \, j \in \N$ så vi kan finde $U_{a_1} \in p_{a_1}(\sF), \dots , U_{a_j} \in p_{a_j}(\sF)$ sådan at 
\[
   x \in \bigcap_{i \in \{1, \dots , j\}}U_{a_i} \subseteq V
\]

Dermed har vi at $\sF$ konvergerer mod $x$.

\textit{ii):} Lad $V \in \OO(x)$ og antag at $(\Delta, p_\alpha \circ i)$ konvergerer mod $p_\alpha(x)$ for hvert $\alpha \in \lambda$. Da giver produkttopologien at der findes en endelig mængde $\{a_1, \dots, a_j\} \subseteq \Lambda \, , \, j \in \N$ så vi kan finde $U_{a_1} \in \tau_{a_1}, \dots , U_{a_j} \in \tau_{a_j}$ sådan at 
\[
   x \in  \bigcap_{i \in \{1, \dots j\}} p_{a_i}^{-1}(U_{a_i}) \subseteq V
\]

Nu kan vi vælge en majorant, $\mu$, så $ \mu \geq a_i, \ i \in \{1, \dots j\}$. Dermed vil $i(\lambda) \in \bigcap_{i \in \{1, \dots j\}} p_{a_i}^{-1}(U_{a_i}) \subseteq V$ for hvert $\lambda \geq \mu$ og dermed har vi at nettet konvergerer mod $x$. 
\end{proof}

\begin{thm}[Tychonoff]
  Lad $\{X_\alpha | \alpha \in \Lambda\}$ være en familie af kompakte topologiske rum. Da vil $\prod_{\alpha \in \Lambda}$ være kompakt
\end{thm}
\begin{proof}[med filtre]
  Lad $\sF$ være et ultrafilter i $\prod X_\alpha$. Da giver lemma \ref{lem:funultfil} at $p_\alpha(\sF)$ er et ultrafilter i $X_\alpha$ og fra den ækvivalente karakterisering af kompakthed bliver nettet konvergent. Nu kan vi gå tilbage igen ved \ref{lem:tychonoff} og får at $\sF$ bliver konvergent hvilket igen ved filter karakteriseringen af kompakthed gør $\prod X_\alpha$ kompakt. 
\end{proof}
\begin{proof}[med net]
  Lad $N_U = (\Delta, i)$ være et universelt net i $\prod X_\alpha$. Da giver \ref{lem:funultfil} at  $(\Delta, p_\alpha \circ i)$ være et universelt net i $X_\alpha$ for hvert  $\alpha \in \Lambda$ og dermed fra net karakteriseringen af kompakthed konvergent. Nu giver \ref{lem:tychonoff} at $N_u$ bliver konvergent og så kan vi igen bruge en af net karakteriseringerne af kompakthed til at vise at $\prod X_\alpha$ bliver kompakt. 
\end{proof}
